Логическая ошибка: перепутана направленность импликации. Дифференцируемость в точке не влечёт наличие экстремума. Верная импликация обратная: если функция имеет локальный экстремум в $x_0$ и дифференцируема в $x_0$, то её производная в этой точке равна нулю.
Пример контрпримера: функция $f(x)=x$ дифференцируема в $x_0=0$, но экстремума в $0$ нет.
Необходимое условие (Ферма): если $f$ имеет локальный максимум или минимум в $x_0$ и $f$ дифференцируема в $x_0$, то
$$f^{\prime }(x_0)=0.$$ Краткое доказательство: для минимума левый и правый разностные отношения неотрицательны и неотрицательные пределы равны, значит оба равны нулю; аналогично для максимума.
Достаточные условия:
- Первая производная (признак монотонности): если в некоторой окрестности $x_0$ выполнено $f^{\prime }(x)<0$ при $x<x_0$ и $f^{\prime }(x)>0$ при $x>x_0$, то $x_0$ — локальный минимум (аналогично: $+$→$-$ — максимум). Часто формулируют: если $f^{\prime }(x_0)=0$ и производная меняет знак с минуса на плюс в точке, то минимум.
- Вторая производная (второй признак): если $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, то $x_0$ — локальный минимум; если $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, то максимум. При $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ тест не даёт ответа.
- Общий критерий через порядки производных: если $f^{\prime }(x_0)=\cdots =f^{(m-1)}(x_0)=0$ и $f^{(m)}(x_0)\ne 0$, то при чётном $m$ точка $x_0$ — экстремум (минимум, если $f^{(m)}(x_0)>0$; максимум, если $f^{(m)}(x_0)<0$), а при нечётном $m$ экстремума нет.
Итого: правильная формулировка — производная в точке экстремума (при дифференцируемости) обязана быть нулём; ноль производной сам по себе не гарантирует экстремум — нужны дополнительные условий (изменение знака $f^{\prime }$, знак $f^{\prime \prime }$ и т.д.).