Четыре.
Пояснение: сторона квадрата $s$ должна делить обе стороны прямоугольника, то есть $s\mid 18$ и $s\mid 12$. Значит $s$ делит $\gcd (18,12)=6$. Положительные делители 6: $1,2,3,6$ — четыре варианта. Для каждого $s$ количество квадратов равно $\frac{18}{s}\cdot \frac{12}{s}$ (соответственно: $216,54,24,6$ при $s=1,2,3,6$).