Пусть вершины многоугольника заданы в порядке обхода $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$ и положим $x_{n+1}=x_1,y_{n+1}=y_1$.
1) Треангуляция (разбиение на треугольники)
- Идея: разбить многоугольник на неперекрывающиеся треугольники, просуммировать их площади.
- Формула для треугольника с вершинами $A=(x_1,y_1),B=(x_i,y_i),C=(x_{i+1},y_{i+1})$:
${\text{area}}_i=\frac{1}{2}\left|(x_i-x_1)(y_{i+1}-y_1)-(x_{i+1}-x_1)(y_i-y_1)\right|.$ Общая площадь (фан-триангуляция через вершину 1):
$A={\sum }_{i=2}^{n-1}{\text{area}}_i.$ - Плюсы: интуитивно, даёт разбиение (полезно для отрисовки, вычисления характеристик); каждая часть положительна (нет знаковых сумм).
- Минусы: нужно корректно строить триангуляцию для невыпуклого или сложного полигона (методы ear-clipping $O(n^2)$ или сложные $O(n)$); более затратна по времени/реализации по сравнению с формулой Гаусса; при самопересечениях требуется аккуратно определить, что считать (разбиение может быть неочевидным).
2) Формула Гаусса / шнуровка (shoelace)
- Формула (свёрнутая, даёт модуль знаковой площади):
$A=\frac{1}{2}\left|{\sum }_{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)\right|.$ - Знаковая версия (ориентированная площадь):
$A_{\text{signed}}=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i).$ - Плюсы: простая, однопроходная $O(n)$, легко реализуется, при целых координатах можно вычислять целочисленно двойную площадь $S=\sum (x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)$ и делить на 2 в конце для точности; автоматически даёт знак (ориентацию).
- Минусы: для самопересекающихся многоугольников возвращает алгебраическую (с учётом знака) площадь, что может не совпадать с суммой геометрических модулей областей; при больших координатах возможен переполнение (решается 64-bit/BigInt).
3) Интегральный подход через теорему Грина
- Теорема Грина даёт:
$A={\iint }_{D}dA=\frac{1}{2}{\oint }_{\partial D}(xdy-ydx).$ - Для ломаной границы (ребра $i\to i+1$) интеграл даёт вклад
$\frac{1}{2}(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),$ что воспроизводит формулу шнуровки.
- Плюсы: даёт общее теоретическое обоснование; удобно обобщается на области с дырками (ориентации компонент) и на вычисление моментов инерции (вычисление интегралов вида $\iint xdA,\iint ydA$).
- Минусы: для практических вычислений на многоугольниках сводится к шнуровке; требует аккуратного учёта ориентации границ при областях со сложной топологией.
Рекомендации и замечания практические
- Для простой задачи «площадь по вершинам» используйте формулу шнуровки: просто, быстро и численно стабильно; сохраняйте двойную площадь в целочисленном типе при целых входах.
- Если нужен разбиенный/пошаговый результат (триангуляция для отрисовки, моделирования), применяйте триангуляцию; для невыпуклых многоугольников используйте проверенные алгоритмы (ear-clipping или библиотечные функции).
- Для областей с дырками/несколькими компонентами используйте ориентированные суммы (положительные/отрицательные вклады) или разбивайте на простые компоненты.
- В случае самопересечений будьте внимательны: шнуровка даёт алгебраическую площадь (с учетом кратности/ориентации), а геометрическая суммарная площадь компонент потребует разбиения.