Частые ошибки
- Путать правило произведения с «произведением производных»: записывают ${\prod }_{k=1}^n{u}_k^{\prime }(x)$ (это неверно). Пример: для $u=v=x$ левая даёт $2x$, правая — $1$.
- Применяют правило только к первым двум множителям и забывают добавить остальные термы.
- Пропускают знак или дробь при логарифмическом дифференцировании (если используют).
Обобщённое правило (для $n$ функций)
- Пусть $f(x)={\prod }_{k=1}^n{u}_k(x)$. Тогда
$$f^{\prime }(x)=\sum _{j=1}^n\left(u_1(x)\cdots u_{j-1}(x)u_j^{\prime }(x)u_{j+1}(x)\cdots u_n(x)\right).$$ То есть каждое слагаемое — результат дифференцирования ровно одного множителя, остальные остаются без изменения.
Частный случай для трёх функций
- Для $f(x)=u(x)v(x)w(x)$:
$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }.$$ Пример ошибки: записать только $u^{\prime }vw$ или $u^{\prime }{v}^{\prime }{w}^{\prime }$ — неверно.
Как проверять вычисления
1. Структурный контроль: должно получиться ровно $n$ слагаемых, в каждом слагаемом — только одна производная $u_j^{\prime }$.
2. Факторизация: вынесите общий множитель, если есть, и проверьте сходимость с альтернативным представлением. Пример:
$$\frac{d}{dx}\left(x^2\sin x{e}^x\right)=2x\sin x{e}^x+x^2\cos x{e}^x+x^2\sin x{e}^x=e^x(2x\sin x+x^2\cos x+x^2\sin x).$$ 3. Численная проверка: подставьте конкретное $x_0$ и сравните аналитическую производную с конечно-разностным приближением
$$f^{\prime }(x_0)\approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$$ для малого $h$.
4. Специальные простые контрпримеры: проверьте на полиномиальных множителях, где можно раскрыть произведение и дифференцировать напрямую (сравнить результаты).
5. Альтернатива — логарифмическое дифференцирование (если все $u_k>0$):
$$\ln f=\sum _{k=1}^n\ln u_k,\frac{f^{\prime }}{f}=\sum _{k=1}^n\frac{u_k^{\prime }}{u_k}.$$ Умножив на $f$, получаем то же общее правило.
Краткий чек-лист при вычислении: количество слагаемых = $n$; в каждом слагаемом ровно одна производная; проверка на простом примере или численно.