Пусть числа операций: $a$ — умножение на $2$, $b$ — деление на $2$, $c$ — умножение на $3$, $d$ — деление на $3$. Тогда
$$a+b+c+d=60.$$ После всех операций число равно
$$12\cdot 2^{a-b}\cdot 3^{c-d}.$$ Если оно равно $54$, то
$$12\cdot 2^{a-b}\cdot 3^{c-d}=54.$$ Так как $12=2^2\cdot 3^1$ и $54=2^1\cdot 3^3$, из сравнения показателей получаем
$$2+(a-b)=1\Rightarrow a-b=-1,$$ $$1+(c-d)=3\Rightarrow c-d=2.$$ Отсюда $b=a+1$ и $c=d+2$. Подставляя в сумму операций,
$$a+(a+1)+(d+2)+d=60\Rightarrow 2(a+d)+3=60,$$ то есть
$$2(a+d)=57,$$ что невозможно, поскольку левая часть чётна, а правая нечётна. Противоречие => через $60$ минут число не может быть $54$.