Окружность и круг — разные математические объекты:
1. Окружность (геометрическая кривая)
- Определение: множество точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии $r$ от центра $O$.
- Уравнение (центр $(a,b)$): $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.
- Размерность: одномерная кривa (топологически эквивалентна $S^1$).
- Длина (периметр): $2\pi r$.
- У окружности нет внутренней области (мера по площади равна 0).
2. Круг (плоская область, часто называют диском)
- Определение: множество точек на плоскости, расстояние от которых до центра $O$ не превосходит $r$ (замкнутый круг) или строго меньше $r$ (открытый круг).
- Уравнение (замкнутый круг): $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le r^2$. Для открытого круга знак $<$.
- Размерность: двумерная область (имеет ненулевую площадь).
- Площадь: $\pi r^2$.
- Граница замкнутого круга — это соответствующая окружность.
Коротко: окружность = только граница (1D), круг = сама область внутри (2D, с границей либо без, в зависимости от типа).