1. Признаки делимости:
- на $100$: число делится на $100$ тогда и только тогда, когда последние две цифры равны $00$.
- на $1000$: число делится на $1000$ тогда и только тогда, когда последние три цифры равны $000$.
2. Правило для $9$: число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.
Ответы:
1) $543\ast$: сумма $5+4+3+x=12+x$. Нужно $12+x\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 6(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $6$.
2) $6\ast 2$: сумма $6+x+2=8+x$. Нужно $8+x\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 1(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $1$.
3) $7\ast 2$: сумма $7+x+2=9+x$. Нужно $9+x\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 0(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $0$ или $9$.
4) $25\ast 0$: сумма $2+5+x+0=7+x$. Нужно $7+x\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 2(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $2$.
5) $8\ast$: сумма $8+x$. Нужно $8+x\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 1(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $1$.
6) $\ast 72$: сумма $x+7+2=x+9$. Нужно $x+9\equiv 0(\mathrm{mod}9)\Rightarrow x\equiv 0(\mathrm{mod}9)$. Ответ: $0$ или $9$.