Предположим, что ни одни два гнома не сидят напротив друг друга. Тогда либо все гномы сидят рядом друг с другом, либо между каждой парой гномов посажен как минимум один лилипут.

Первый случай: все гномы сидят рядом друг с другом. Тогда у круглого стола должно быть как минимум 9 мест для гномов (так как больше половины – 9 человек), что невозможно, так как всего 16 человек.

Второй случай: между каждой парой гномов посажен как минимум один лилипут. Тогда количество лилипутов должно быть не менее 8 человек, что также невозможно, так как всего 16 человек.

Таким образом, по предположению, никакие два гнома не могут сидеть напротив друг друга невозможно, следовательно, какие-то два гнома должны сидеть напротив друг друга.