Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой синуса суммы:
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b),
sin(a - b) = sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b).

Тогда:
(sin(a + b) + sin(a - b)) / (sin(a + b) - sin(a - b)) = ((sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) + (sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b))) / ((sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)) - (sin(a) cos(b) - cos(a) sin(b))) =
= (2 sin(a) cos(b)) / (2 cos(a) sin(b)) = tg(a) * ctg(b).

Таким образом, доказано тождество sin(a + b) + sin(a - b) / sin(a + b) - sin(a - b) = tg(a) * ctg(b).