Решение:

Задача 1:
Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения сначала приведем его к виду, удобному для интегрирования:
(у - у)du = x” ydy – хуѓds

Интегрируя обе части уравнения, получаем:
у^2/2 - у^2/2 = x” y^2/2 – хyѓ – C,
где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения:
у^2/2 = x” y^2/2 – хуѓ – C.

Задача 2:
Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения сначала выразим у в явном виде:
у = x + 11.

Интегрируем это уравнение, чтобы получить общий интеграл:
y = x^2/2 + 11x + C,
где С - произвольная постоянная.

Задача 3:
Для нахождения решения задачи Коши нужно подставить начальные условия у(0) = 1/2 в уравнение у = (x+1):
1/2 = (0+1) = 1,
следовательно, начальные условия не выполняются, поэтому данная задача Коши не имеет решения.

Задача 4:
Для нахождения общего интеграла дифференциального уравнения приведем его к виду, удобному для интегрирования:
(x+1)sin y + y sin x + cos y - cos x dy = 0.

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

(x+1)cos y - y cos x + sin y + sin x = C,
где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общий интеграл дифференциального уравнения:
-(x+1)cos y - y cos x + sin y + sin x = C.