Для нахождения экстремумов функции z = 7x^2 - 6xy + 3y^2 - 4x + 7y - 12 необходимо найти частные производные этой функции по переменным x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений.

Частная производная по x: ∂z/∂x = 14x - 6y - 4
Частная производная по y: ∂z/∂y = -6x + 6y + 7

Приравняем полученные производные к нулю:

14x - 6y - 4 = 0
-6x + 6y + 7 = 0

Решая эту систему уравнений, получаем:
x = 3
y = -1

Теперь найдем вторые производные функции и составим матрицу Гёссе:

d^2z/dx^2 = 14
d^2z/dy^2 = 6
d^2z/dxdy = -6

Матрица Гёссе для данной функции будет:

| 14 -6 |
| -6 6 |

Определитель этой матрицы равен 84, а угловые миноры 14 и 12. Это значит, что матрица положительно определена, и полученные значения x = 3, y = -1 являются точкой минимума функции z = 7x^2 - 6xy + 3y^2 - 4x + 7y - 12.

Таким образом, экстремум функции z достигается в точке (3, -1) и равен -10.