Для поиска экстремума функции z=7x^2-6xy+3y^2-4x+7y-12 необходимо решить систему уравнений, составленную из производных функции z по переменным x и y:

∂z/∂x = 14x - 6y - 4 = 0
∂z/∂y = -6x + 6y + 7 = 0

Теперь решим данную систему уравнений:

14x - 6y - 4 = 0
14x - 6y = 4 (1)

-6x + 6y + 7 = 0
6y + 7 = 6x
y = (6x - 7)/6 (2)

Подставим значение y из уравнения (2) в уравнение (1):

14x - 6((6x - 7)/6) = 4
14x - 6x + 7 = 4
8x = -3
x = -3/8

Теперь найдем значение y, подставив x = -3/8 в уравнение (2):

y = (6*(-3/8) - 7)/6
y = (-9/4 - 7)/6
y = (-9/4 - 28/4)/6
y = -37/4 / 6
y = -37/24

Таким образом, найденные значения экстремума функции z=7x^2-6xy+3y^2-4x+7y-12 равны:
x = -3/8
y = -37/24

Для определения типа экстремума необходимо провести исследование вторых производных в найденной точке.