1) Производная функции y=x⋅ln(x^2+1)+ln5 равна:
[tex]y' = \left( x\cdot \ln(x^2+1) \right)' + (\ln5)'[/tex]

Используем правило дифференцирования произведения:
[u⋅v]' = u'⋅v + u⋅v'

Производная первого слагаемого:
[u] = x, [v] = ln(x^2+1)
[u]' = 1, [v]' = \frac{2x}{x^2+1}

Сначала продифференцируем первое слагаемое:
[u⋅v]' = 1⋅ln(x^2+1) + x⋅\frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x^{2} + x}{x^2+1}

Теперь продифференцируем второе слагаемое:
(ln5)' = 0

Итак, производная функции равна:
[tex]y' = \frac{2x^2 + x}{x^2+1}[/tex]

2) Производная функции y = sin(x/2)⋅cos(3x/2) равна:
[tex]y' = (sin(\frac{x}{2})⋅cos(\frac{3x}{2}))'[/tex]

Используем правило дифференцирования произведения:
[u⋅v]' = u'⋅v + u⋅v'

Производная первого слагаемого:
[u] = sin(\frac{x}{2}), [v] = cos(\frac{3x}{2})
[u]' = \frac{1}{2}⋅cos(\frac{x}{2}), [v]' = -\frac{3}{2}⋅sin(\frac{3x}{2})

Сначала продифференцируем первое слагаемое:
[u⋅v]' = \frac{1}{2}⋅cos(\frac{x}{2})⋅cos(\frac{3x}{2}) + sin(\frac{x}{2})⋅(-\frac{3}{2}⋅sin(\frac{3x}{2})) = \frac{1}{2}⋅(cos(\frac{x}{2})cos(\frac{3x}{2}) - 3sin(\frac{x}{2})sin(\frac{3x}{2}))

Итак, производная функции равна:
[tex]y' = \frac{1}{2}⋅(cos(\frac{x}{2})cos(\frac{3x}{2}) - 3sin(\frac{x}{2})sin(\frac{3x}{2}))[/tex]