Для нахождения первообразной функции f(x) = 4x^3 + 7x, мы интегрируем ее по переменной x.

Интегрируем каждый член по отдельности:

∫(4x^3)dx = x^4 + C1,
∫(7x)dx = 7x^2/2 + C2.

Где С1 и С2 - произвольные постоянные.

Суммируем оба интеграла: F(x) = x^4 + 7x^2/2 + C.

Теперь мы знаем, что первообразная функция f(x) = 4x^3 + 7x имеет вид F(x) = x^4 + 7x^2/2 + C.

Чтобы найти конкретное значение постоянной С, используем условие, что график проходит через точку М (0;-1).

Подставим координаты точки в уравнение:

F(0) = 0^4 + 7*0^2/2 + C = C = -1.

Итак, конкретное значение постоянной С равно -1.

Итак, первообразная функции f(x) = 4x^3 + 7x, проходящая через точку М (0;-1), имеет вид F(x) = x^4 + 7x^2/2 - 1.