Для исследования функции y=x^3-3x^2+1 на монотонность и экстремумы, необходимо найти ее производную.

y' = 3x^2 - 6x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 2.

Далее, необходимо исследовать знак производной на интервалах между точками экстремума и за их пределами:

1) При x < 0, y' < 0, что означает убывание функции.
2) При 0 < x < 2, y' > 0, что означает возрастание функции.
3) При x > 2, y' < 0, что опять же означает убывание функции.

Таким образом, функция y=x^3-3x^2+1 возрастает на интервале (0, 2) и убывает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).

Точки экстремума: