Для решения производной данной функции используем правило дифференцирования произведения двух функций:

Пусть
f(x) = ln^2(cos(x))
g(x) = sin(x)^x

Тогда производная произведения двух функций равна:
(fg)' = f'g + fg'

Найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = [ln^2(cos(x))]'
f'(x) = 2ln(cos(x)) * [ln(cos(x))]'

g'(x) = [sin(x)^x]'
g'(x) = cos(x)sin(x)^x ln(sin(x)) + sin(x)^(x-1) * cos(x)

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

(fg)' = (2ln(cos(x)) [ln(cos(x))]')(sin(x)^x) + (ln^2(cos(x)))[cos(x)sin(x)^x ln(sin(x)) + sin(x)^(x-1) cos(x)]

Таким образом, производная данной функции равна:
(2ln(cos(x)) [ln(cos(x))]')(sin(x)^x) + ln^2(cos(x))[cos(x)sin(x)^x ln(sin(x)) + sin(x)^(x-1) cos(x)]