Для решения данного уравнения преобразуем все тригонометрические функции к базовым функциям синуса и косинуса:

ctg(x) = 1/tg(x)

Уравнение примет вид:

2(1/tg(x)) - 3tg(x) + 5 = 0

Умножим обе части уравнения на tg(x), чтобы избавиться от знаменателя:

2 - 3(tg^2(x)) + 5(tg(x)) = 0

Уравнение стало квадратным относительно tg(x):

3(tg^2(x)) - 5(tg(x)) - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

tg(x) = (5 ± √(25 + 24*3))/6 = (5 ± 7)/6

Два возможных значения для tg(x):

tg(x) = 2 или tg(x) = -1/3

Известно, что tg(x) = sin(x)/cos(x)

Подставим первое значение и найдем sin(x) и cos(x):

tg(x) = sin(x)/cos(x) = 2

sin(x) = 2cos(x)

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то (2cos(x))^2 + cos^2(x) = 1, откуда следует cos(x) = ±1/√5

Если cos(x) = 1/√5, то sin(x) = 2/√5

Если cos(x) = -1/√5, то sin(x) = -2/√5

Таким образом, корни уравнения 2ctgx-3tgx+5=0 равны:

x₁ = arctg(2), x₂ = arctg(-1/3)