Для того чтобы неравенство $px^2 + 4x + p + 2 > 0$ не имело решений, дискриминант уравнения $px^2 + 4x + p + 2 = 0$ должен быть меньше нуля.

Дискриминант уравнения $px^2 + 4x + p + 2 = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a = p$, $b = 4$ и $c = p + 2$.

Подставляем значения $a$, $b$ и $c$ в формулу для дискриминанта:

$D = 4^2 - 4 \cdot p \cdot (p + 2) = 16 - 4p^2 - 8p$

Для того чтобы неравенство $px^2 + 4x + p + 2 > 0$ не имело решений, дискриминант $D$ должен быть меньше нуля:

$D < 0$

$16 - 4p^2 - 8p < 0$

$4p^2 + 8p - 16 > 0$

$p^2 + 2p - 4 > 0$

$(p + 2)^2 - 8 > 0$

$(p + 2 + √8)(p + 2 - √8) > 0$

$p + 2 + √8 > 0$ и $p + 2 - √8 > 0$

$p > -2 + √8$ и $p > -2 - √8$

$p > -2 + 2√2$ и $p > -2 - 2√2$

Таким образом, ограничениями для $p$ будут $p > -2 + 2√2$ и $p > -2 - 2√2$.

Наибольшее целое значение $p$ удовлетворяющее этим условиям - это $p = -1$.

Таким образом, наибольшее целое значение $p$ при котором неравенство $px^2 + 4x + p + 2 > 0$ не имеет решений, равно -1.