Для начала воспользуемся формулой двойного угла для тригонометрической функции:
[cos(2\alpha) = cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)]

Преобразуем данный интеграл, используя формулу двойного угла:
[\int\limits^a_b cos^{2}(x+10) \, dx = \int\limits^a_b \frac{1 + cos(2(x+10))}{2} \, dx]

Теперь рассмотрим два слагаемых интеграла по отдельности:

Первое слагаемое:
[\int\limits^a_b \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x]_b^a = \frac{1}{2} (a-b)]
[= \frac{1}{2} \left(\frac{33\pi }{8} + \frac{33\pi }{8}\right) = \frac{33\pi }{8}]

Второе слагаемое:
[\int\limits^a_b \frac{cos(2(x+10))}{2} \, dx]

Сделаем замену переменной:
[u = 2(x+10), du = 2dx]
[dx = \frac{1}{2} du]
[x = \frac{u}{2} - 10]

Подставляем замену в интеграл:
[\int\limits^ab \frac{cos(u)}{2} \, du = \frac{1}{2} \int\limits^{2a+20}{2b+20} cos(u) \, du]

Вычисляем определенный интеграл:
[\frac{1}{2} [sin(u)]_{2b+20}^{2a+20} = \frac{1}{2} \left(sin\left(\frac{33\pi}{4}\right) - sin\left(-\frac{33\pi}{4}\right)\right)]
[= \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0]

Таким образом, данная функция как интеграл равна (\frac{33\pi}{8}).