Для решения дифференциального уравнения Y"-5y'+6=3x^2+7x-1, можно применить метод интегрирующего множителя.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения Y"-5y'+6=0.

Характеристическое уравнение: λ^2 - 5λ + 6 = 0
Дискриминант: D = (-5)^2 - 416 = 25 - 24 = 1
Корни: λ1 = (5 + √1)/2 = 3, λ2 = (5 - √1)/2 = 2

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: Yh = c1e^(3x) + c2e^(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем общее частное решение неоднородного уравнения в виде Yp = Ax^2 + Bx + C, где A, B, C - неизвестные коэффициенты.

Подставляем Yp в исходное уравнение:
Yp" - 5Yp' + 6 = 3x^2 + 7x - 1

После дифференцирования и подстановки получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет иметь вид Y = Yh + Yp.