Чтобы найти дифференциал данной функции, нам необходимо применить правило дифференцирования произведения функций.

Обозначим данную функцию как f(x, y) = (xyarctg(x*y+x+y))/(x+y).

Применяем правило производной произведения функций:

d(f)/dx = (yarctg(xy+x+y) + xy(1/(1+(xy+x+y)^2))(y+x))/(x+y) - (xyarctg(x*y+x+y))/(x+y)^2

d(f)/dy = (xarctg(xy+x+y) + xy(1/(1+(xy+x+y)^2))(x+y))/(x+y) - (xyarctg(x*y+x+y))/(x+y)^2

Теперь можно записать дифференциал функции f(x, y) как:

df = d(f)/dxdx + d(f)/dydy

df = ((yarctg(xy+x+y) + xy(1/(1+(xy+x+y)^2))(y+x))/(x+y) - (xyarctg(xy+x+y))/(x+y)^2)dx + ((xarctg(xy+x+y) + xy(1/(1+(xy+x+y)^2))(x+y))/(x+y) - (xyarctg(xy+x+y))/(x+y)^2)dy

Таким образом, найден дифференциал функции (xyarctg(x*y+x+y))/(x+y).