База индукции: при n=1 левая и правая части равны:
1*4 = 1(1+1)^2
4 = 4

Шаг индукции: предположим, что уравнение верно для n = k, т.е.
14 + 27 + ... + k(3k+1) = k(k+1)^2

Докажем, что уравнение также верно для n = k+1:
14 + 27 + ... + k(3k+1) + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)^2

Сгруппируем слагаемые до k и добавим (k+1)(3(k+1)+1) к обеим сторонам уравнения:

k(k+1)^2 + (k+1)(3(k+1)+1) = (k+1)(k+1+1)^2

k(k+1)^2 + (k+1)(3k+3+1) = (k+1)(k+2)^2

k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) = (k+1)(k+2)^2

Далее раскроем скобки:

(k^2 + k)*(k+1) + 3k^2 + 4k + k + 4 = (k^2 + 2k + 1)(k+1)

k^3 + k^2 + k^2 + k + 3k^2 + 4k + k + 4 = k^3 + 2k^2 + k + k^2 + 2k + 1

k^3 + 3k^2 + 4k + k + 4 = k^3 + 3k^2 + 3k + k^2 + 2k + 1

k^3 + 3k^2 + 4k + k + 4 = k^3 + 3k^2 + 3k + k^2 + 2k + 1

Таким образом, уравнение верно и для n = k+1, что завершает доказательство по методу математической индукции.