Для того чтобы найти область определения функции F(x) = √(x(x-2)(x+111), мы должны определить значения x, при которых содержимое под квадратным корнем неотрицательно. Это означает, что (x(x-2)(x+111)) должно быть больше или равно нулю.

Решим неравенство: x(x-2)(x+111) >= 0

Посмотрим на знаки множителей и определим, в каких интервалах x функция положительна или отрицательна:

x > 0, x-2 > 0, x+111 > 0: все множители положительны при x > 2, значит функция положительна на отрезке (2, +∞).

x < 0, x-2 < 0, x+111 < 0: все множители отрицательны при x < 0, значит функция положительная на отрезке (−∞, 0).

x-2 > 0, x+111 < 0: отрицательный множитель перед x, значит функция отрицательна на интервале (−111, 2).

x > 0, x-2 < 0, x+111 > 0: отрицательный множитель перед (x-2), значит функция отрицательна на интервале (0,2).

Таким образом, областью определения функции F(x) = √(x(x-2)(x+111) является объединение интервалов (-∞, 0] U [2, +∞).