Для нахождения такого числа можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.
По условию, число делится на 7, поэтому оно имеет вид 7k + 1.
Также остатки при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 должны быть равны 1.
Используя китайскую теорему об остатках, можем записать систему уравнений:

7k + 1 ≡ 1 (mod 2)
7k + 1 ≡ 1 (mod 3)
7k + 1 ≡ 1 (mod 4)
7k + 1 ≡ 1 (mod 5)
7k + 1 ≡ 1 (mod 6)

Решая данную систему уравнений, получаем, что наименьшее натуральное число удовлетворяющее всем условиям - число 301.

Проверим:

301 делится на 7.301 = 150 * 2 + 1, остаток 1 при делении на 2.301 = 100 * 3 + 1, остаток 1 при делении на 3.301 = 75 * 4 + 1, остаток 1 при делении на 4.301 = 60 * 5 + 1, остаток 1 при делении на 5.301 = 50 * 6 + 1, остаток 1 при делении на 6.

Таким образом, 301 - это наименьшее натуральное число, которое дает остаток 1 при делении на 2, на 3, на 4, на 5, на 6 и делится на 7.