Для доказательства монотонности кубической функции f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, где a, b, c, d - константы и a ≠ 0, нужно показать, что производная этой функции не меняет знак на всей области определения.

Найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

Для того чтобы доказать монотонность функции f(x), нужно проанализировать знак производной f'(x).
Для этого найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
3ax^2 + 2bx + c = 0

Далее, рассмотрим дискриминант уравнения:
D = (2b)^2 - 43ac = 4b^2 - 12ac

Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, что означает наличие локальных экстремумов.

Если дискриминант D < 0, то уравнение не имеет действительных корней, значит функция непрерывно возрастает или убывает на всей области определения.

Если дискриминант D = 0, то уравнение имеет один корень, что говорит о наличии точки экстремума.

Итак, если дискриминант уравнения D > 0, то функция имеет точки экстремума, иначе функция монотонно возрастает или убывает на всей области определения.

Таким образом, мы доказали, что кубическая функция монотонна на всей области определения.