Для нахождения четвертого члена геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы членов геометрической прогрессии:

[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

где

( S_n ) - сумма первых ( n ) членов прогрессии,( a_1 ) - первый член прогрессии,( q ) - знаменатель прогрессии (отношение второго к первому члену),( n ) - количество членов.

Из условия задачи нам дано, что сумма первых пяти членов равна 242:

[ S_5 = a_1 \cdot \frac{q^5 - 1}{q - 1} = 242 ]

и что второй член прогрессии равен 6:

[ a_2 = a_1 \cdot q = 6 ]

Учитывая, что ( a_2 = a_1 \cdot q ), можно записать:

[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{a_1} ]

Подставляем это в формулу для суммы первых пяти членов:

[ a_1 \cdot \frac{(\frac{6}{a_1})^5 - 1}{\frac{6}{a_1} - 1} = 242 ]

[ a_1 \cdot \frac{7776 - a_1^5}{6 - a_1} = 242 ]

[ a_1 \cdot \frac{7776}{6} - a_1^2 = 242(6 - a_1) ]

[ 1296 - a_1^2 = 1452 - 242a_1 ]

[ a_1^2 - 242a_1 + 156 = 0 ]

Решая это квадратное уравнение, получаем два возможных значения для ( a_1 ): 12 и 130. Учитывая, что второй член равен 6, выбираем ( a_1 = 12 ).

Теперь можем найти знаменатель прогрессии ( q = \frac{6}{12} = 0.5 ).

Наконец, находим четвертый член прогрессии:

[ a_4 = a_1 \cdot q^3 = 12 \cdot 0.5^3 = 12 \cdot 0.125 = 1.5 ]

Итак, четвертый член геометрической прогрессии равен 1.5.