Пусть Шарик закапывает k косточек за день, тогда сумма закопанных им косточек за n дней равна:
1 + 2 + 3 + ... + k = (k*(k+1))/2.

Пусть за m дней Шарик закопал ровно 777 косточек, тогда:
(1 + 2 + 3 + ... + k) + (1 + 2 + 3 + ... + k+m-1) = 777.

Подставим сумму арифметической прогрессии:
(k(k+1))/2 + ((k+m-1)((k+m-1)+1))/2 = 777,
k(k+1) + (k+m-1)(k+m) = 1554,
k^2 + k + k^2 + 2km + m^2 - m = 1554,
2k^2 + 2km + m^2 + k - m = 1554.

Учитывая, что Шарик закапывает на 1 косточку больше каждый день (k = m + 1), получаем:
2(m+1)^2 + 2(m+1)m + m + 1 - m = 1554,
2m^2 + 4m + 2 + 2m^2 + 2m + m + 1 - m = 1554,
4m^2 + 5m + 3 = 1554.

Это квадратное уравнение имеет решения: m=36 и m=-36. Так как количество дней не может быть отрицательным, то наибольшее число дней, за которое Шарик сможет закопать ровно 777 косточек, равно 36 дням.