Для начала перепишем уравнение (a+2b):(b+2c):c+2a)=1:2:3 в виде числовых отношений.

Исходное уравнение:

(a+2b):(b+2c):c+2a)=1:2:3

(a+2b)/(b+2c) = 1/2,
(b+2c)/c = 2/3.

Теперь подставим a+b+c=6 в выражение a+2b + b+ 2c + 2c+ a =6:

4(a+b+c)=6,
4*6=24.

Таким образом, a+2b=6, b+2c=6, c+2a=6.

Теперь найдем решение для данных уравнений:

a+2b=6,
b+2c=6,
c+2a=6.

Добавив все уравнения, получим:

3a+3b+3c=18,
a+b+c=6,
Таким образом, a=b=c=2.

Итак, a=2, b=2, c=2.