Обозначим боковое ребро пирамиды через l, а сторону основания через a.

Так как тангенс угла наклона бокового ребра к основанию равен 2, то можно записать:
tan(α) = l / (a/2) = 2,
l = 2a.

Также из условия известно, что площадь среза равна 12,5 см^2, а отношение площадей основания и среза равно 1:7. Поэтому можем записать:
S_BSD = 12,5 см^2,
S_BSD / S_BCD = 1 / 7,
S_BCD = 7 S_BSD = 7 12,5 = 87,5 см^2.

Поскольку треугольник BDN подобен треугольнику BCS, можно записать:
BD / BC = DN / CS,
BD = DN BC / CS,
BD = l a / (2a) = l / 2 = a.

Зная сторону основания a, можем найти площадь основания:
S_BCD = a^2 = 87,5,
a = sqrt(87,5) ≈ 9,36 см.

Теперь можем найти объём пирамиды по формуле:
V = (1/3) S_base h,
V = (1/3) 87,5 l,
V = (1/3) 87,5 2 * 9,36,
V = 545,833 см^3.

Ответ: объем пирамиды равен 545,833 см^3.