Для того чтобы найти количество чисел, удовлетворяющих условиям задачи, нужно использовать принцип включений-исключений.

Обозначим количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 102 как N(102), количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 14 как N(14), количество чисел, не превышающих 10,000 и делящихся на 15 как N(15).

Используя формулу включений-исключений:

N(102) = [10,000 / 102] = 98
N(14) = [10,000 / 14] = 714
N(15) = [10,000 / 15] = 666

Теперь найдем количество чисел, удовлетворяющих условиям задачи:
N(14,15) - количество чисел, которые делятся и на 14 и на 15. Это числа, кратные НОК(14,15) = 210.
N(102,14) - количество чисел, которые делятся и на 102 и на 14. Это числа, кратные НОК(102,14) = 714.
N(102,15) - количество чисел, которые делятся и на 102 и на 15. Это числа, кратные НОК(102,15) = 510.
N(14,15,102) - количество чисел, которые делятся на 14, 15 и 102. Это числа, кратные НОК(14,15,102) = 714.

Теперь применим формулу включений-исключений:
N(102) - N(102,14) - N(102,15) + N(102,14,15) = 98 - 714 - 510 + 714 = 402

Таким образом, существует 402 натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15.