Решение неравенства:

(а+ [tex]\frac{3}{2}[/tex])x^2 + (a+1)x - [tex]\frac{1}{2}[/tex] > 0

Сначала найдем корни квадратного трехчлена: x1 и x2

D = (a+1)^2 - 4(a+ [tex]\frac{3}{2}[/tex])(- [tex]\frac{1}{2}[/tex])
D = a^2 + 2a + 1 + 3*(a + 1)
D = a^2 + 2a + 1 + 3a + 3
D = a^2 + 5a + 4

Найдем корни уравнения D = 0:

a^2 + 5a + 4 = 0
(a + 4)(a + 1) = 0

a1 = -4
a2 = -1

Таким образом, квадратное трехчлен имеет два корня -4 и -1.
Построим табличку знаков:

а | -∞ | -4 | -1 | +∞
f(x) | + | - | + | +

Следовательно, неравенство выполняется в двух интервалах:
1) a < -4
2) a > -1

Ответ: a < -4 или a > -1.