Пусть разность прогрессии равна $d$, тогда четвертый член прогрессии равен $2+3d$, а седьмой член равен $2+6d$.

Произведение четвертого и седьмого членов прогрессии:
$$(2+3d)(2+6d) = 4 + 14d + 18d^2$$

Для нахождения минимального значения этого выражения возьмем его производную и приравняем к нулю:
$$\frac{d(4 + 14d + 18d^2)}{dd} = 14 + 36d = 0$$
$$d = -\frac{14}{36} = -\frac{7}{18}$$

Таким образом, при разности прогрессии равной $-\frac{7}{18}$ произведение четвертого и седьмого членов прогрессии будет иметь наименьшее значение.