Дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , … , a n , у которой a 1 = 12 , a n = 2 . Найдите n , если известно, что 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n − 1 a n = 20 .
Дана арифметическая прогрессия a 1 , a 2 , … , a n , у которой a 1 = 12 , a n = 2 . Найдите n , если известно, что 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + 1 a 3 a 4 + … + 1 a n − 1 a n = 20 .
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Известно, что
a_1 = 12, a_n = 2.
Также дано, что
1/a_1a_2 + 1/a_2a3 + ... + 1/a(n-1)a_n = 20.
Заметим, что
1/a_i-1a_i = 1/(a_i-1 - d)(a_i - d) = 1/d * (1/a_i-1 - 1/a_i),
где d - разность арифметической прогрессии.
Суммируя это выражение по всем i от 2 до n, получаем
1/a_1a_2 + 1/a_2a3 + ... + 1/a(n-1)a_n = 1/d*(1/a_1 - 1/a_n).
Заменяем данные значения и подставляем в данное равенство:
20 = 1/d * (1/12 - 1/2).
Решая это уравнение, найдем d = -2/13.
Далее, используя формулу длины арифметической прогрессии, найдем n:
a_n = a_1 + (n-1)d,
2 = 12 + (n-1)*(-2/13),
2 = 12 - 2n/13 + 2/13,
2/13 = 10 - 2n/13,
2n/13 = 10 - 2/13,
2n = 130 - 2,
n = 128/2 = 64.
Итак, n = 64.