Площадь правильного восьмиугольника можно найти, разбив его на восемь равносторонних треугольников и затем использовав формулу площади треугольника.

Пусть сторона восьмиугольника равна a. Тогда диагональ восьмиугольника (диагонали являются радиусом окружности) будет равна 2R.

Рассмотрим один из треугольников, образованных диагональю и стороной восьмиугольника:

Мы можем разбить этот треугольник на два прямоугольных треугольника, зная, что угол между диагональю и стороной правильного восьмиугольника равен 45 градусам (360 градусов / 8 углов). Поэтому биссектриса треугольника является высотой прямоугольного треугольника со сторонами a/2 и a/2.

По теореме Пифагора, длина биссектрисы равна R*√2. Теперь можем найти площадь прямоугольного треугольника:

S = (a/2)*(a/2)/2 = a^2/8

Так как у нас восьми таких треугольников, то общая площадь правильного восьмиугольника равна:

S = 8*(a^2/8) = a^2

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника равна квадрату его стороны, или (2R)^2 = 4R^2.