Для доказательства того, что не существует трех таких цифр, сумма квадратов которых равна 172, можно воспользоваться обратным методом и перебором всех возможных комбинаций.

Из условия задачи следует, что нам нужно найти три цифры a, b, c от 0 до 9 такие, что a^2 + b^2 + c^2 = 172. Также известно, что искомое число n будет трехзначным.

Мы можем перебрать все возможные комбинации трех цифр от 0 до 9 и взять их сумму квадратов. Таким образом, мы убедимся, что нет комбинации, для которой сумма квадратов цифр будет равна 172.

Исходя из перебора:

1^2 + 7^2 + 2^2 = 54

1^2 + 7^2 + 3^2 = 59

1^2 + 7^2 + 4^2 = 66

1^2 + 7^2 + 5^2 = 75

1^2 + 7^2 + 6^2 = 86

1^2 + 7^2 + 8^2 = 114

1^2 + 7^2 + 9^2 = 155

1^2 + 8^2 + 2^2 = 69

1^2 + 8^2 + 3^2 = 74

1^2 + 8^2 + 4^2 = 81

1^2 + 8^2 + 5^2 = 90

1^2 + 8^2 + 6^2 = 101

1^2 + 8^2 + 7^2 = 114

1^2 + 8^2 + 9^2 = 146

2^2 + 7^2 + 3^2 = 62

2^2 + 7^2 + 4^2 = 69

2^2 + 7^2 + 5^2 = 78

2^2 + 7^2 + 6^2 = 89

2^2 + 7^2 + 8^2 = 117

2^2 + 7^2 + 9^2 = 158

2^2 + 8^2 + 3^2 = 77

2^2 + 8^2 + 4^2 = 86

2^2 + 8^2 + 5^2 = 97

2^2 + 8^2 + 6^2 = 110

2^2 + 8^2 + 7^2 = 125

2^2 + 8^2 + 9^2 = 165

3^2 + 7^2 + 4^2 = 74

И так далее. Ни в одном случае сумма квадратов цифр не равна 172. Следовательно, не существует трех цифр, сумма квадратов которых равна 172.