Для нахождения производной функции (y = x \cdot \cot(x)) используем правило дифференцирования произведения функций:

[
(uv)' = u'v + uv'
]

где (u = x) и (v = \cot(x)).

Найдем производную функции (u = x):

[
\frac{du}{dx} = 1
]

Найдем производную функции (v = \cot(x)). Для этого выразим (\cot(x)) через (\cos(x)) и (\sin(x)):

[
\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
]

Теперь продифференцируем (v = \cot(x)) с помощью квотиентного правила:

[
\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right) = \frac{(-\sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x))}{\sin^2(x)} = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin^2(x)}
]

Теперь используем формулу для произведения функций:

[
(y)' = u'v + uv' = 1 \cdot \cot(x) + x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2(x)} \right) = \cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}
]

Поэтому производная функции (y = x \cdot \cot(x)) равна (\cot(x) - \frac{x}{\sin^2(x)}).