Докажем равенство по шагам:

1) Раскроем скобки в левой части уравнения:

a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2

2) Перегруппируем члены:

ab^2 - ba^2 + bc^2 - cb^2 + ca^2 - ac^2

3) Вынесем общие множители:

b(a-c)(b+c) + c(b-a)(b+c) + a(c-b)(c+a)

4) Заметим, что (b+c)=(c-a)=(a+b), тогда:

(b-a)(b+c) + (c-b)(b+c) + (c-a)(c+a)

5) Раскроем скобки:

(b-a)b + (c-b)b + (a-c)a = b^2 - ab + cb - b^2 + ab - ca = cb - ca = c(b-a)

6) Тогда:

(b-a)(b+c) + (c-b)(b+c) + (a-c)(c+a) = c(b-a) + a(c-a) = (a-c)(b-c)

Таким образом, получаем a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) + c(a^2-b^2) = (a-b)(b-c)(c-a), что и требовалось доказать.