Для решения данного неравенства мы должны выразить его в виде умножения и деления положительных выражений.

Сначала разложим числитель:
[tex] x + 2 - x^{2} = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1) [/tex]

Теперь разложим знаменатель:
[tex] x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) [/tex]

Таким образом, исходное неравенство можно записать в виде:
[tex] -\frac{(x-2)(x+1)}{(x+1)(x^2 - x + 1)} \geqslant 0 [/tex]

Сократим на (x+1) и получаем:
[tex] -\frac{x-2}{x^2 - x + 1} \geqslant 0 [/tex]

Рассмотрим знаки выражений в числителе и знаменателе:

Числитель будет положительным, когда x < 2Знаменатель всегда положителен, так как является суммой квадратов

Таким образом, неравенство выполняется при [-\infty, -1) ∪ (1, 2]