Дано: a, b - натуральные числа; c - произведение простых множителей, которые не являются общими для a и b; ab/c = 256

Чтобы найти НОД$a,b$, нам необходимо выразить a и b через их простые множители. Для этого разложим их на простые множители, зная что ab/c = 256.

Поскольку c является произведением всех простых множителей, которые не являются общими для a и b, то c можно выразить как произведение простых множителей, встречающихся хотя бы в одном из чисел a или b. Следовательно, ab = 256c.

Далее, мы выразим a и b через их простые множители:

a = $p{1}^{m}1$ $p{2}^{m}2$ ... $p{n}^{m}n$ b = $q{1}^{l}1$ $q{2}^{l}2$ ... $q{n}^{l}n$

где p1, p2, ..., pn - простые множители числа a, не входящие в c;
q1, q2, ..., qn - простые множители числа b, не входящие в c;
m1, m2, ..., mn - степени простых множителей в числе a;
l1, l2, ..., ln - степени простых множителей в числе b.

Теперь, подставив данные результаты в уравнение ab = 256c, мы получим:

$p{1}^{m}1$ $p{2}^{m}2$ ... $p{n}^{m}n$ $q{1}^{l}1$ $q{2}^{l}2$ ... $q{n}^{l}n$ = 256 c

Имея это уравнение, мы можем приступить к нахождению НОД$a,b$. Для этого нужно сравнить числа попарно и возвести в минимальную степень каждый простой множитель, встречающийся в обоих числах a и b. Полученное произведение простых множителей будет НОД$a,b$.

Решая данную задачу вручную, получаем:
ab = 2^8 c = 256c
Так как 256 = 2^8, то ab = 2^8 c = $2^8$ $p_1</em>p_2<em>...</em>p_k$ = 2^8 p_1 p_2 ... p_k
Таким образом, a = 2^x p_1 p_2 ... p_k, b = 2^y p_1 p_2 ... p_k, где x и y - любые натуральные числа

Тогда НОД$a,b$ = p_1 p_2 ... * p_k

Ключевым моментом является то, что произведение простых множителей $p_1<em>p_2</em>...\ast p_k$ является НОД$a,b$, так как это единственное общее простое число, входящее в a и b, кроме 2.

Надеюсь, что данное объяснение поможет вам понять решение задачи. Если остались вопросы, не стесняйтесь их задать.