Уравнение [tex]\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}+\sqrt[3]{H(x)}=0[/tex] часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение [tex]F(x)+G(x)+3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)}\left(\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}\right)=-H(x).[/tex]С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на [tex]-\sqrt[3]{H(x)},[/tex] получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение [tex]F(x)+G(x)+H(x)=3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)}.[/tex] Пусть [tex]x_0[/tex] - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда [tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0.[/tex]
Уравнение [tex]\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}+\sqrt[3]{H(x)}=0[/tex] часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение [tex]F(x)+G(x)+3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)}\left(\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}\right)=-H(x).[/tex]С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на [tex]-\sqrt[3]{H(x)},[/tex] получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение [tex]F(x)+G(x)+H(x)=3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)}.[/tex] Пусть [tex]x_0[/tex] - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда [tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0.[/tex]
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Предположим, что [tex]x_0[/tex] не является корнем исходного уравнения. Тогда [tex]\sqrt[3]{F(x_0)}+\sqrt[3]{G(x_0)}+\sqrt[3]{H(x_0)}\not= 0.[/tex] Так как [tex]x_0[/tex] является корнем уравнения [tex]F(x)+G(x)+H(x) = 3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)},[/tex] то [tex]F(x_0)+G(x_0)+H(x_0) = 3 \sqrt[3]{F(x_0)\cdot G(x_0)\cdot H(x_0)}.[/tex] Получается, что [tex]F(x_0) = G(x_0) = H(x_0)\not= 0.[/tex]
Обратно, предположим, что [tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0.[/tex] Тогда [tex]F(x_0)+G(x_0)+H(x_0) = 3\cdot F(x_0) = 3\sqrt[3]{F(x_0)\cdot G(x_0)\cdot H(x_0)}\not= 0.[/tex] Поделим обе части этого равенства на 3 и получим уравнение [tex]\frac{F(x_0)+G(x_0)+H(x_0)}{3} = \sqrt[3]{F(x_0)\cdot G(x_0)\cdot H(x_0)}.[/tex] Это и есть уравнение исходного типа для корня [tex]x_0.[/tex]
Таким образом, [tex]x_0[/tex] не является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда [tex]F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0,[/tex] что и требовалось доказать.