Для доказательства данного неравенства, разберёмся с каждым его элементом:

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3a-2$$a+2$ = 3a^2 + 6a - 2a - 4 = 3a^2 + 4a - 4

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$1+2a$^2 = $1+2a$$1+2a$ = 1 + 2a + 2a + 4a^2 = 1 + 4a + 4a^2

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

3a^2 + 4a - 4 < 1 + 4a + 4a^2

Выразим неравенство, приведя подобные:

3a^2 + 4a - 4 < 1 + 4a + 4a^2
3a^2 - 4a^2 + 4a - 4 - 1 < 0
-a^2 + 4a - 5 < 0
a^2 - 4a + 5 > 0

Теперь найдём вершины параболы, заданной функцией a^2 - 4a + 5, используя формулу x = -b / 2a:

x = -$-4$ / 2 * 1
x = 4 / 2
x = 2

Подставим x = 2 в функцию для нахождения значения функции в вершине:

a^2 - 4a + 5
2^2 - 4*2 + 5
4 - 8 + 5
1

Таким образом, вершина параболы находится в точке $2,1$.

Теперь проанализируем знак функции вне и в пределах вершины.

Для a < 2:
a^2 - 4a + 5 < 0, так как вершина лежит выше оси Х.

Для a > 2:
a^2 - 4a + 5 > 0, так как вершина лежит ниже оси Х.

Таким образом, при любых значениях a неравенство $3a-2$$a+2$ < $1+2a$^2 верно.