Для начала определим область определения функции Y=4x²/3+x². Функция Y существует для всех действительных чисел x.

Далее, найдем производную функции Y: Y'=(8x/3)+2x. Равенство производной нулю дает точку экстремума:

0=(8x/3)+2x
0=(8x+6x)/3
0=14x/3
x=0

Таким образом, точка экстремума находится в x=0. Подставим x=0 обратно в исходное уравнение для нахождения значения Y:

Y=4*0²/3+0²
Y=0

Таким образом, точка экстремума функции Y равна (0,0).

Теперь проведем анализ второй производной функции. Возьмем вторую производную Y'': Y''=8/3+2>0, что говорит о том, что Y в точке экстремума имеет минимум.

Построим график функции Y=4x²/3+x²:

(График функции)

Таким образом, функция Y=4x²/3+x² имеет точку экстремума в (0,0) и обладает минимумом в этой точке.