Для решения данного неравенства нам нужно преобразовать его.

[tex]0,5^{x^2} \geq 0,5^{3-2x}[/tex]

Теперь преобразуем левую и правую части неравенства, используя свойства степеней:

[tex]0,5^{x^2} \geq 0,5^3 \cdot 0,5^{-2x}[/tex]

[tex]0,5^{x^2} \geq \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4^x}[/tex]

[tex]0,5^{x^2} \geq \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}}[/tex]

[tex]0,5^{x^2} \geq \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}}[/tex]

Теперь мы видим, что обе стороны неравенства содержат степени с основанием 0,5. Так как основание меньше 1, то при возведении его в степень уменьшается, поэтому нам нужно перевести все в степени с одинаковыми основаниями.

[tex]0,5^{x^2} = (0,5^x)^2[/tex]

[tex]\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}} = \frac{1}{(2^3) \cdot 2^{2x}} = \frac{1}{2^{3+2x}}[/tex]

Итак, теперь неравенство примет вид:

tex^2 \geq \frac{1}{2^{3+2x}}[/tex]

[tex]0,5^x \geq \frac{1}{2^{3+2x/2}}[/tex]

[tex]0,5^x \geq \frac{1}{2^{3+x}}[/tex]

[tex]2^{-x} \geq 2^{-(3+x)}[/tex]

Так как обе стороны имеют одинаковый основание, то можно сравнивать их показатели степени:

[tex]-x \geq -(3+x)[/tex]

[tex]-x \geq -3-x[/tex]

[tex]0 \geq -3[/tex]

Последнее неравенство верно для любых x, так как нуль всегда больше любого отрицательного числа.

Итак, мы нашли, что исходное неравенство выполняется для всех x.