Пусть p простое число и больше 5. Обоснуйте , что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4 ;а при делении p в квадрате на 24 получаем 1.
Пусть p простое число и больше 5. Обоснуйте , что при делении числа p в квадрате на 5 получаем остаток 1 или 4 ;а при делении p в квадрате на 24 получаем 1.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала заметим, что любое натуральное число можно представить в виде одного из трех сравнений по модулю 5: 0, 1, 2, 3 или 4.
Теперь посмотрим на все возможные остатки при делении на 5:
1) Если p = 5k, то p^2 = 25k^2 и остаток при делении на 5 будет равен 0.
2) Если p = 5k + 1, то p^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1 и остаток будет 1.
3) Если p = 5k + 2, то p^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4 и остаток будет 4.
4) Если p = 5k + 3, то p^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k) + 4 и остаток будет 4.
5) Если p = 5k + 4, то p^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k) + 1 и остаток будет 1.
Таким образом, при делении числа p в квадрате на 5 остаток может быть только 0, 1 или 4.
Теперь рассмотрим деление на 24:
Для простого числа p > 5 верно, что p = 24k + 1, 24k + 5, 24k + 7 или 24k + 11:
1) Если p = 24k + 1, то p^2 = 576k^2 + 48k + 1 = 24(24k^2 + 2k) + 1 и остаток будет 1.
2) Если p = 24k + 5, то p^2 = 576k^2 + 240k + 25 = 24(24k^2 + 10k) + 1 и остаток будет 1.
3) Если p = 24k + 7, то p^2 = 576k^2 + 336k + 49 = 24(24k^2 + 14k) + 1 и остаток будет 1.
4) Если p = 24k + 11, то p^2 = 576k^2 + 528k + 121 = 24(24k^2 + 22k) + 1 и остаток будет 1.
Таким образом, при делении числа p в квадрате на 24 остаток всегда будет равен 1.