Для нахождения производной функции ( \frac{2}{5} \sqrt{x} ) мы можем использовать правило дифференцирования функции, включающей корень.

Обозначим данную функцию как ( f(x) = \frac{2}{5} \sqrt{x} ).

Используя правило дифференцирования функции вида ( \sqrt{x} ) ( ( (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} ) ), мы можем получить производную:

[ f'(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5} x^{-\frac{1}{2}} ]

Далее, мы можем упростить это выражение:

[ f'(x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{5\sqrt{x}} ]

Таким образом, производная функции ( \frac{2}{5} \sqrt{x} ) равна ( \frac{1}{5\sqrt{x}} ).