Для начала найдем корень уравнения $$x-223=666$$. Прибавим 223 к обеим сторонам уравнения:

$$x = 666 + 223 = 889$$

Теперь найдем самое большое трехзначное число, кратное 4. Для этого нужно найти наибольшее трехзначное число, которое делится на 4 без остатка, то есть кратное 4. Самое большое трехзначное число - 999, но это число не делится на 4. Следующее по убыванию трехзначное число - 996, которое делится на 4.

Теперь найдем сумму корня уравнения и наибольшего трехзначного числа, кратного 4:

$$889 + 996 = 1885$$

Следовательно, сумма корня уравнения $$x-223=666$$ и наибольшего трехзначного числа, кратного 4, равна 1885.