Перейдем к пределу вида [tex]\lim_{t \to 0} arcctg t[/tex], где [tex]t = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex].

Подставим значение [tex]t[/tex]:

[tex]\lim{x \to -\infty} arcctg\frac{x}{\sqrt{1+x^2} } = \lim{t \to 0} arcctg t[/tex]

Так как [tex]t \to 0[/tex], это означает, что [tex]x \to -\infty[/tex].

Функция [tex]arctg x[/tex] имеет предел при [tex]x \to \infty[/tex], который можно определить как [tex]\lim_{x \to \infty} arctg x = \frac{\pi}{2}[/tex].

Так как [tex]arcctg x = \frac{\pi}{2} - arctg x[/tex], то [tex]\lim{t \to 0} arcctg t = \frac{\pi}{2} - \lim{t \to 0} arctg t[/tex].

Поскольку [tex]\lim_{t \to 0} arctg t = 0[/tex], получаем:

[tex]\lim_{x \to -\infty} arcctg\frac{x}{\sqrt{1+x^2} } = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}[/tex]

Итак, предел функции [tex]arcctg\frac{x}{\sqrt{1+x^2} }[/tex] при [tex]x \to -\infty[/tex] равен [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].