Для вычисления производной функции y(x) = sin(sqrt(2x-1) по определению, найдем предел отношения разности функции в точках x и x0 к разности самих точек при x стремящемся к x0:

y′(x0) = lim_{x \to \x_x0} \frac{sin(sqrt(2x-1))-sin(sqrt(2x0-1))}{x-x0}

Преобразуем формулу:

y′(x0) = lim_{x \to \x_x0} \frac{sin(sqrt(2x-1))-sin(sqrt(2x0-1))}{x-x0} * \frac{sin(sqrt(2x-1))+sin(sqrt(2x0-1))}{sin(sqrt(2x-1))+sin(sqrt(2x0-1))}

y′(x0) = lim_{x \to \x_x0} \frac{sin(sqrt(2x-1))^2-sin(sqrt(2x0-1))^2}{x-x0} / (sin(sqrt(2x-1))+sin(sqrt(2x0-1)))

Заметим, что числитель равен разности квадратов, которую можно раскрыть по формуле (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:

y′(x0) = lim_{x \to \x_x0} \frac{sin(sqrt(2x-1)+sin(sqrt(2x0-1))(sin(sqrt(2x-1)-sin(sqrt(2x0-1))}{x-x0} / (sin(sqrt(2x-1))+sin(sqrt(2x0-1)))

Теперь сократим синусы в числителе и знаменателе:

y′(x0) = lim_{x \to \xx0} \frac{sqrt(2x-1)-sqrt(2x0-1)}{x-x0} = lim{x \to \xx0} \frac{\sqrt{2(x-x0)}}{x-x0} = lim{x \to \x_x0} \sqrt{2} = sqrt{2}

Таким образом, производная функции y(x) = sin(sqrt(2x-1) равна sqrt{2}.