Пусть год рождения режиссёра равен abcd, а год, в котором ему исполнилось 65 лет, равен efgh. Тогда согласно условию задачи:

a + b + c + d = 2(e + f + g + h)

Известно также, что в тот год, когда режиссёру исполнилось 65 лет, его год рождения был настолько большим, что a = e + 6. Подставляем это в уравнение:

e + 6 + b + c + d = 2(e + f + g + h)

Так как e + f + g + h = 65, то:

e + 6 + b + c + d = 2*65

e + 6 + b + c + d = 130
e + b + c + d = 124

Таким образом, сумма цифр года рождения режиссёра равна 124. Найдем все возможные варианты:

1 + 2 + 4 + x = 9, x = 2
1 + 2 + x + 4 = 9, x = 2
1 + x + 2 + 4 = 9, x = 2
x + 1 + 2 + 4 = 9, x = 2

Таким образом, единственная возможная сумма цифр года рождения режиссёра равна 124 и его год рождения - 1921.