Для решения неравенства -2x^2 + 7x + 4 >= 0, сначала найдем корни уравнения -2x^2 + 7x + 4 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен D = 7^2 - 4(-2)4 = 49 + 32 = 81.

Корни уравнения найдем по формуле x = (-b +- sqrt(D))/(2*a), где a = -2, b = 7, c = 4.

x1 = ( -7 + sqrt(81) ) / (-4) = ( -7 + 9 ) / (-4) = 1/(-2) = -1/2,
x2 = ( -7 - sqrt(81) ) / (-4) = ( -7 - 9 ) / (-4) = -16/(-4) = 4.

Итак, корни уравнения -2x^2 + 7x + 4 = 0 равны -1/2 и 4.

Теперь нам нужно определить знак выражения -2x^2 + 7x + 4 в каждом из трех интервалов (-∞, -1/2), (-1/2, 4) и (4, +∞).

1) Подставляем x = -1 в неравенство: -2(-1)^2 + 7(-1) + 4 = -2 + (-7) + 4 = -5 < 0
2) Подставляем x = 0 в неравенство: -20^2 + 70 + 4 = 4 > 0
3) Подставляем x = 5 в неравенство: -25^2 + 75 + 4 = -50 + 35 + 4 = -11 < 0

Таким образом, неравенство -2x^2 + 7x + 4 >= 0 выполняется на интервалах (-1/2, 4).

Длина этого промежутка равна 4 - (-1/2) = 4.5.

Итак, длина промежутка, который является решением неравенства, равна 4.5.